· Uhlová rýchlosť a uhlové zrýchlenie

Vyšetrujme pohyb hmotného bodu po krivke K znázornenej na obrázku 2.1.7

Vidíme, že trajektória pohybu leží v rovine xy a jedná sa o krivočiary pohyb v rovine xy. Hmotný bod na začiatku skúmania pohybu, t.j. v čase  t₀ , sa nachádza v bode A určeným polohovým vektorom r₀ a v čase t₀ +Dt v bode B, určeným  polohovým vektorom r . Z obrázku vidíme tiež, že vo zvolenom prípade veľkosti vektorov r₀ a r sú rôzne. To znamená, že ilustrovaný pohyb prezentuje všeobecný prípad, kedy sa pri pohybe môže meniť veľkosť i smer polohových vektorov hmotného bodu v jednotlivých časových okamihoch. Pre zjednodušenie budeme uvažovať taký pohyb, pri ktorom veľkosť polohových vektorov sa nemení a pohyb prebieha v rovine. Hovoríme o pohybe po kružnici.

V tomto zjednodušenom prípade nás bude zaujímať ako sa mení uhol, ktorý vytvára malá zmena polohového vektora pohybujúceho sa hmotného bodu vzhľadom na pevne zvolený počiatok 0 a smer ( napr. x).

Nech hmotný bod za časový interval Dt opíše uhol Da , ktorý zvierajú polohové vektory r₀ a r . Zmena uhlu Da pripadajúca na jednotku času definuje veličinu, ktorú nazývame stredná uhlová rýchlosť w_s

(2.1.26)

Je výhodné uhlu Da , vytvorenému zovretím dvoch málo odlišných smerov, t.j. uhlu medzi polohovými vektormi r a r₀ , priradiť vektor uhlovej dráhy Da ( obr.2.1.8 a) definovaný rovnicou

Da = Da n (2.1.27)

nasledovne:

· vektor Da má smer jednotkového vektora n a je kolmý na rovinu, v ktorej ležia polohové vektory r a r_{0 ,}

· vektor Da je orientovaný na tú stranu, z ktorej vidím stotožnenie polohového vektora r₀ do smeru polohového vektora r po kratšej uhlovej dráhe v zmysle proti pohybu hodinových ručičiek,

· absolútna hodnota vektora uhlovej dráhy Da sa rovná veľkosti uhla zovretého obidvoma smermi.

Uhol aký opíše sprievodič za jednotku času udáva veličina uhlová rýchlosť. V limitnom prípade Dt®0 podiel určený rovnicou (2.1.28) určuje okamžitú uhlovú rýchlosť, resp. uhlovú rýchlosťw ( obr.2.1.8 b)

(2.1.28)

ktorú možno vyjadriť ako deriváciu uhlovej rýchlosti podľa času vzťahom

(2.1.29)

Na základe definičného vzťahu pre uhlovou rýchlosť (2.1.29), možno veľkosť uhlovej dráhy, opísanej za časový interval

t - t_{0 ,} vyjadriť rovnicou

(2.1.30)

kde a₀ udáva uhol, ktorý zviera polohový vektor r₀ hmotného bodu A  na začiatku skúmania so zvoleným smerom. Obvykle je výhodné zvoliť taký súradnicový systém, aby a_a bolo rovné nule.

Vektorová veličina uhlové zrýchlenie e je definovaná ako časová derivácia uhlovej rýchlosti

(2.1.31)

a možno ju vyjadriť i pomocou uhlovej dráhy nasledovne:

(2.1.32)

resp. ako každý vektor cez jeho veľkosť e a smer určeným jednotkovým vektorom n, kolmým na rovinu, v ktorej sa pohyb odohráva (obr. 2.1.8 c)

e = e n (2.1.33)

Jednotkou uhlovej rýchlosti w je s^-1 a uhlového zrýchlenia e je s^-2.