Vyjdeme z definície zrýchlenia:

kde s značí dĺžku dráhy prebehnutej pohybujúcim sa bodom po trajektórii, meranú od ľubovolného bodu na trajektórii pohybu.

Zaveďme vektor krivosti trajektórie

ktorého absolútna hodnota je zrejme tým väčšia, čím rýchlejšie sa mení smer dotyčnice pri postupe pozdĺž danej trajektórie. Pretože vektor k* je deriváciou jednotkového vektora t, je na vektor t kolmý (zdôvodnenie pozri deriváciu jednotkového vektora) a spolu s ním určuje rovinu, ktorá sa volá oskulačnou rovinou priestorovej čiary. Priamka vektora k*, ktorá je teda kolmá na trajektóriu a leží v jej oskulačnej rovine, nazýva sa jej normálou v príslušnom bode.

Nájdeme ešte iné vyjadrenie vektora k* a tým aj normálového zrýchlenia. Kružnica, ktorá leží v oskulačnej rovine trajektórie, dotýka sa jej a v tomto spoločnom bode má s ňou aj spoločný vektor krivosti, nazýva sa jej kružnicou krivosti a jej stred stredom krivosti trajektórie pre bod dotyku. Je zrejmé, že stred S kružnice krivosti K leží na normále n na tej istej strane dotyčnice, z ktorej strany sa trajektória javí dutou (obr.2.1.7)

Vyjadrenie vektora krivosti priestorovej čiary môžeme upraviť tak, že budeme ho považovať za vektor krivosti príslušnej kružnice krivosti. Nech je polomer kružnice krivosti r a  nech je r jednotkový vektor v smere toho polomeru kružnice krivosti, ktorý končí v bode dotyku kružnice krivosti s danou priestorovou čiarou.

Ak ďalej n značí jednotkový vektor kolmý na rovinu kružnice krivosti a orientovaný ako ukazuje obr. 2.1.8, môžeme písať:

takže po zdiferencovaní

,

pretože vektor n je konštantný. Z posledného vzťahu dostávame pre vektor k* vyjadrenie

a pre normálové zrýchlenie: