2.1.3  Krivočiary pohyb

Krivočiary pohyb je charakterizovaný tým, že  trajektória, ktorú opisuje hmotný bod je ľubovolná krivka. Ak časová závislosť polohového vektora sa mení podľa rovnice

 

r = r (x, y, z, t)                                                                                                          (2.1.52)

 

hovoríme o pohybe v priestore a musíme uvažovať vektorovú rovnicu  (2.1.7), alebo parametrické rovnice (2.1.6), kde parametrom je premenná čas t. Tvar krivky, po ktorej sa pohybuje hmotný bod, určený parametrickými rovnicami (2.1.6), určíme vylúčením parametra  t  z parametrických rovníc, čím získame všeobecnú rovnicu dráhy.

Ak koncový bod polohového vektora r  hmotného bodu sa v každom časovom okamihu  nachádza v tej istej rovine, hovoríme o pohybe v rovine. V prípade , že aj začiatok súradnicovej sústavy, do ktorej je umiestnený začiatok polohového vektora r leží v tejto rovine pohybu, polohový vektor r ostáva vždy v tej istej rovine. Ako príklad rovinného pohybu možno uviesť pohyb stoličky, ktorú ťaháme po zemi (všetky nohy pri pohybe ostávajú na podlahe),  alebo pohyb  knihy po stole.

Na určenie pohybu v rovine úplné stačí, ak sú známe časové  závislosti  dvoch jeho súradníc v danej rovine. Ak časová závislosť polohového vektora sa mení v závislosti  len na súradniciach x a y, podľa rovnice

 

r = r (x, y, t)                                                                                                             

 

hmotný bod, resp. teleso koná pohyb v rovine xy. Najjednoduchším krivočiarym pohybom je pohyb po kružnici, ktorému vzhľadom na závažnosť, venujeme pozornosť  v samostatnej  časti.

             Krivočiary pohyb, podobne ako pri priamočiarom pohybe, delíme z hľadiska rýchlosti pohybujúceho sa bodu na pohyb rovnomerný a nerovnomerný.

 

·     Rovnomerný krivočiary pohyb

            Ak vektor  rýchlosti hmotného bodu je konštantný len čo do veľkosti ( v = v0 = konšt.) znamená to, že sa mení jeho smer, vtedy  hovoríme o rovnomernom krivočiarom pohybe. Musíme si uvedomiť, že pri rovnomernom pohybe krivočiarom, celkové zrýchlenie nie je nulové. Odvodenie tejto skutočnosti si ukážeme pri rovnomernom pohybe po kružnici.

 

·       Nerovnomerný krivočiary pohyb

            Nech vektor zrýchlenia sa istým spôsobom s časom mení, a jeho zmena je určená predpisom  a = a (t); v tomto prípade  hovoríme o nerovnomernom krivočiarom pohybe hmotného bodu.

            Ak vektor zrýchlenia je konštantný čo do veľkosti (a = konšt.), hovoríme  o rovnomerne zrýchlenom krivočiarom pohybe

            Ak chceme určiť dĺžku dráhy  resp. krivku v priestore, ktorú opisuje koncový bod polohového vektora r, ktorý sa pohybuje tak, že vektor zrýchlenia je určený funkčnou závislosťou a = a (t), postup je obdobný s predchádzajúcim prípadom po priamke, s tým rozdielom, že vzťahy definujúce zrýchlenie (2.1.17),  rýchlosť (2.1.10)  a časovú závislosť zrýchlenia a = a (t),  musíme  uvažovať  ako vektory so  zložkami  a = [ax,ay,az], v = [vx,vy,vz]  a  r = [x,y,z,]. Vektorové rovnice, určujúce zrýchlenie (2.1.17) a rýchlosť (2.1.10) prejdú každá na tri skalárne rovnice, takže dostávame systém nasledovných  rovníc (2.1.53)

      

 ax = a1(t)                       ay = a2(t)                  az = a3(t)                                           

 

            ,                                                                    (2.1.53)

 

                                                                                     

 

Ak sa jedná o pohyb rovinný uvažujeme len príslušné dve zložky, podľa toho, v ktorej rovine sa pohyb koná.  Ich riešenie je obdobné, ako pre rovnice vystupujúce pre  priamočiary  pohyb. Postup si ukážeme  na nasledovnom príklade.

___________________________________________

Príklad: 2.1.9 Časová    závislosť  pohybu   hmotného bodu  je   určená   parametrickými    rovnicami  

x  =  k1, y  = k2t + k3t3, kde k1, k2 a k3 sú konštanty. Rozhodnite,  aký  pohyb koná hmotný bod a určite  rýchlosť a  zrýchlenie hmotného bodu v základných jednotkách sústavy SI a) na konci  tretej sekundy pohybu,  b) na začiatku jedenástej sekundy pohybu, ak  k1 = 3 mm, k2  = 10 cm.s-1,  k3 = 500 mm.s-3.

 

Riešenie: Uvedomíme si zadané veličiny a presvedčíme sa, či tieto veličiny sú v základných jednotkách SI sústavy. Vypíšeme si  ich a nakoľko nie sú v základných jednotkách SI,  premeníme ich:

k1  =  3 mm = 3.10-3  m

k2  = 10 cm. s-1 =10. 10-2  m.s-1 =  10-1  m.s-1

k3  = 500 mm.s-3 = 500.10-6 m.s-3  = 5.10-4 m.s-3

a) t1 = 3 s,    v1 = ? , a1 = ? 

b) t2 = 10 s,  v2 = ? , a 2 = ?

 

            Pohyb   hmotného   bodu je   daný  dvoma rovnicami pre časovú závislosť polohového vektora  r(t) = [x (t),  y(t) ] = [x, y], takže sa jedná o pohyb v rovine xy. Rýchlosť a zrýchlenie sú vektorové fyzikálne veličiny,  musíme určiť aj ich veľkosť aj ich smer.

Napíšeme si základné vzťahy pre hľadané veličiny  v  = [vx, vy ]  a  a  = [ax, ay ],  kde

     ,                         .

 

                         .

 

Smer vektorov v  a  a určíme z   trigonometrickej funkcie cos a  .

 

 

Do základných vzťahov dosadíme zadané parametrické rovnice a vykonáme naznačené matematické operácie:

 

 

 

 

 

 

Pre veľkosť  a smer rýchlosti po číselnom dosadení dostávame v prípade:

 

a)     v(t1)   =  10-1 m.s-1 + 3. 5.10-4 m.s-3(3 s)2   = ( 0,1 +0,0135) m.s-1    =  0,1135  m.s-1

 

Pozn: Pre určenie smeru možno zvoliť i inú trigonometrickú funkciu.  Ak by sme si zvolili

 

 

 

vidíme, že funkcia nie je definovaná, nakoľko x-ová zložka rýchlosti je nulová. Vieme teda, že pohyb hmotného bodu sa uskutočňuje v smere odklonu od x-ovej osi   určenom  uhlom a = 90 o, čo odpovedá smeru osi  y   .  

 

b)     v (t2)  =  10-1 m.s-1 + 3. 5.10-4 m.s-3(10 s)2   = ( 0,1 +0,15) m.s-1    =  0,25  m.s-1

 

Pre zadaný prípad, obdobne  smer vektora rýchlosti je v smere osi y. Zrýchlenie určíme na základe už uvedených vzťahov

 

     kde                                    

 

 

Pre veľkosť  a smer zrýchlenia  po číselnom dosadení dostávame v prípade

a)   a (t1)  = 6 k3 t1 =  6. 5.10-4 m.s-3(3 s) = 0,009 m.s-2

 

 

a (t1)    = 0,009 j     [m.s-2]

 

b)      

 

a (t2)  = 0,3 j    [m.s-2 ]

 

čo znamená, že aj vektor rýchlosti a leží v smere súradnicovej osi  y .

Odpoveď: Hmotný bod pohybujúci sa podľa parametrických rovníc v zadaní vykonáva nerovnomerný priamočiary pohyb v smere jednotkového vektora j s veľkosťou rýchlosti v = 0,235  m.s-1 a veľkosťou zrýchlenia a = 0,09 m.s-2 na konci tretej minúty,  resp.

v = 2,5  m.s-1 a a  = 0,3 m.s-2  na začiatku jedenástej sekundy.

 

Príklad 2.1.10   Mucha  lieta tak, že jej súradnice závisia od času podľa rovníc: x = R sin wt , y = At,

z = R cos wt, kde R, w a A sú konštanty. Rozhodnite, o aký pohyb sa jedná a určite vektor rýchlosti a  vektor zrýchlenia  jej pohybu, ako i veľkosť zložky tangenciálneho a normálového zrýchlenia.

Riešenie: Zo zadania troch parametrických rovníc vieme povedať, že mucha vykonáva priestorový pohyb. Dráha je skrutkovnica v smere osi y, určená parametrickými rovnicami

x = R sin w t 

y = At

z = R cos w t

Vektor rýchlosti určíme zo vzťahu

 

                           

 

 

 

Vektor zrýchlenia určíme ako deriváciu vektora rýchlosti

 

 

 

 

 

 

Príklad 2.1.11

Zrnko prachu sa pohybuje  po skrutkovnici tak, že jeho polohový vektor r  v čase t je určený rovnicou (1):    r = iR cos wt +jR sinwt +  kvt  ,   kde R, w  a v   sú kladné  konštanty. Akú dlhú dráhu s  prejde  zrnko za časový interval Dt = t – t0 , keď  v čase t0 = 0 sa nachádzalo   zrnko v začiatku súradnicového systému, t.j  r0 = 0

 

 


Riešenie: Elementárna dĺžka dráhy ds, ktorú zrnko prebehne je daná  rovnicou

 

                                                                                                (2)

 

pričom z rovnice (1) platí:

 

x = R cos wt,  y = R sin wt,   z = n t

 

odkiaľ pre diferenciály platí

 

dx = -R w sin w t dt,                dy = Rw cos w t dt,                    dz = v dt                       (3)                                          

 

Po dosadení  rovníc (3) do rovnice (2) dostaneme:

           

                                            (4)

 

Integrovaním rovnice (4)  dostaneme celkovú dĺžka  dráha Ds , ktorú  zrnko  prešlo za časový interval D t = t

 

 

 

 

Kontrolné otázky k časti 2.1.3

 

1.     Charakterizujte krivočiary pohyb.

2.     Uveďte niektoré  špeciálne prípady krivočiareho pohybu.

3.     Aký smer má rýchlosť pri krivočiarom pohybe?

4.     Do akých zložiek rozkladáme vektor zrýchlenia pri krivočiarom pohybe v rovine?

5.      Ak sa teleso  pohybuje s  konštantným celkovým zrýchlením rozhodnite, či môže mať 

      jeho dráha tvar určenú ktoroukoľvek z nasledovných kriviek :a) priamka     b) kružnica   

      c) špirála  d)  ľubovolný tvar.

6.     Môže byť vektor rýchlosti konštantný pri krivočiarom pohybe?

7.     Ak častica koná rovnomerný krivočiary pohyb, aký smer má vektor rýchlosti?

8.     Vyjadrite dĺžku ubehnutej dráhy hmotného bodu, ktorý sa pohybuje krivočiarym pohybom a) v rovine, b) v priestore.

9.     Ak všetky body telesa sa v rovnakých časových intervaloch posunú o rovnakú vzdialenosť v tom istom smere, aký pohyb  skúmané teleso koná?

10.  Ovplyvňujú sa navzájom jednotlivé zložky popisujúce priestorový pohyb?

11.  Môže sa častica pohybovať po špirále, ak jej normálové zrýchlenie je nulové?

12.  Aký pohyb koná teleso vrhnuté z výšky h vodorovným smerom   s nenulovou počiatočnou rýchlosťou?

13.  Čo je grafom závislosti dráhy od času telesa vrhnutého z výšky h vodorovným smerom   s nenulovou počiatočnou rýchlosťou?

14.  Akým smerom je orientovaný vektor okamžitej rýchlosti vzhľadom na trajektóriu?

15.  Napíšte matematické vyjadrenie závislosti  z- ovej zložky rovnice trajektórie, ak častica koná pohyb po závitnici  s osou spadajúcou do osi z. Nakreslite obrázok.

16.  Vysvetlite, čo je oskulačná rovina a oskulačná kružnica.

17.  Kedy sa častica, schopná otáčať sa okolo nehybnej osi,  otáča s uhlovým zrýchlením? Formulujte  aj matematický vzťah.