3.1     Hydrostatika

3.1.1    Základná rovnica hydrostatiky

          Na element kvapaliny, ktorá je v pokoji, pôsobí iba normálové napätie – tlak a objemová sila charakterizovaná objemovou hustotou sily f. Predstavme si v kvapaline uzatvorenú plochu s objemom V. Rovnováhu plošných a objemových síl pre tento objem kvapaliny vyjadruje v integrálnom tvare rovnica:

 

                                                                                               (3.1)

 

Pripomíname, že vektor elementu plochy dS je definovaný tak, že smeruje z uzatvorenej plochy von. Tlaková sila na element plochy je preto – pdS.

Hľadáme teraz rovnicu, ktorá bude vyjadrovať podmienku rovnováhy síl v diferenciálnom tvare,  teda pre každý bod kvapaliny. Majme nekonečne malý objemový element dV = dx dy dz  umiestnený v pravouhlej súradnicovej sústave podľa obr.3.1. Tlak je iba funkciou polohy, nie orientácie plochy, a ak sa v bode  A (x, y, z) rovná p, potom v bode B (x + dx, y, z) sa rovná:

                                                                         (3.2)

 

           

 

 

 

 

 

 

 

V smere osi  x  pôsobí tlak na dve steny objemového elementu. Podmienku rovnováhy objemových a plošných síl vyjadríme rovnicou:

 

                                                                      (3.3)

 

ktorá po úprave nadobúda tvar:

 

                                                                                                          (3.4a)

 

Analogicky dostaneme rovnice vyjadrujúce podmienky rovnováhy v smere osí y a z:

 

,                                                                                      (3.4b, c)

 

Po vynásobení týchto rovníc jednotkovými vektormi i, j, k a sčítaní dostávame vo vektorovom tvare základnú rovnicu hydrostatiky:

 

,                                                                                                        (3.5)

kde gradient tlaku je vektor 

 

. 

 

Objemová hustota sily v kvapaline, ktorá je v pokoji, sa rovná gradientu tlaku. Objemovú hustotu sily môžeme vyjadriť pomocou hustoty a intenzity príslušného vonkajšieho poľa vzťahom  f = r E.

V prípade, že silové pole objemových síl je konzervatívne, t.j. pre intenzitu platí E = – grad j , kde j  je potenciál  príslušného poľa, dostávame všeobecne platnú rovnicu  hydrostatiky:

 

                                                                                               (3.6)

 

Ak hustota r je konštantná, potom

 

 

a rovnicu  (3.6 )  môžeme vyjadriť v tvare  grad (r j  + p) = 0, odkiaľ vyplýva:

 

r j + p  = konšt.                                                                                                        (3.7)

 

 

Fyzikálna interpretácia tejto rovnice je: súčet potenciálnej energie objemovej jednotky a tlaku pre nestlačiteľnú kvapalinu v konzervatívnom silovom poli je konštantný.

V gravitačnom poli s konštantnou intenzitou platí pre potenciál gravitačného poľa: j = gh, kde g je gravitačné zrýchlenie a h je výška nad zvolenou hladinou nulového potenciálu. Rovnicu hydrostatiky pre nestlačiteľnú kvapalinu v gravitačnom poli dostávame potom v tvare:

 

r g h + p  =  konšt.                                                                                                     (3.8a)

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––

 

Príklad 3.1 Na určenie tlaku v nádobe naplnenej plynom použijeme otvorený ortuťový vákuomer (obr.3.2). Aký je tlak plynu v nádobe, ak rozdiel hladín ortuti v trubiciach vákuomera  je h = 0,45 m?

 

Riešenie:         

                                                                                             

                                               Obr. 3.2

 

Rozhranie ortuť – vzduch si  zvolíme za vzťažnú  rovinu.   Potom  zo  základnej rovnice  hydrostatiky  platí:

p + r g h = p_A   Þ  hľadaný tlak:           

p = p_A – r g h @41 kPa

 

 

Príklad 3.2 Dve otvorené ramená spojených nádob sú naplnené navzájom sa nemiešajúcimi kvapalinami a to vodou a terpentínovým olejom. Aká je vzdialenosť hladín kvapalín v jednotlivých ramenách od spoločného rozhrania (obr.3.3), keď rozdiel výšok  hladín v ramenách je  Dh = 10 cm ?

 

Riešenie: 

           

         Obr. 3.3

 

Zo základnej rovnice hydrostatiky  v stave rovnováhy platí  r φ + p = konšt., kde φ je potenciál tiaže. Ak spoločné rozhranie kvapalín volíme za vzťažnú rovinu kde φ = 0, musí byť v obidvoch ramenách tlak v kvapaline rovnaký, teda:

  

r₁ g h₁ + p_A = r ₂g h ₂+ p_A  , pričom  h₁ – h₂ = Dh.

 

Z týchto dvoch rovníc úpravou dostaneme:

 

 .

           

                                                                                                                                                                                                                                

Ak je zmena potenciálnej energie vzhľadom na rôzne miesta v kvapaline oproti tlaku zanedbateľná, potom z tejto rovnice vyplýva známy Pascalov zákon: vo vnútri ako aj na hraničných plochách je v kvapaline, ktorá je v pokoji a nepôsobia na ňu vonkajšie sily, všade rovnaký tlak:

 

p  =  konšt.                                                                                                                (3.8b)

 

Táto skutočnosť sa v praxi využíva v hydraulických lisoch.

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Príklad 3.3 Pri dvíhaní nákladu hmotnosti m = 2 t pomocou hydraulického zdviháka (obr.3.4) sa vykonala práca W = 40 J. Pritom malý piest vykonal 10 zdvihov a pri každom sa posúval o h =10 cm. Koľkokrát je plocha väčšieho piestu S₁ väčšia než plocha malého piestu S₂ ?

 

Riešenie:         

                        Obr. 3.4

 

 

Práca pri n-krát opakovanom pohybe malého piesta je:  W = n F₂ h . Z Pascalovho zákona  o rovnomernom šírení sa tlaku v kvapaline pritom platí:

 

.

 

Odtiaľ platí:

 

.  

 

 

Pre hľadaný pomer prierezov:   

 

 

.

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––