3.3.2         Laminárne prúdenie kvapaliny v trubici kruhového prierezu

       Majme trubicu polomeru R, v ktorej laminárne prúdi kvapalina dynamickej viskozity h.

Rýchlosť kvapaliny na stenách potrubia je nulová a narastá do maximálnej hodnoty v strede potrubia. Hľadáme závislosť narastania rýchlosti so vzdialenosťou od stredu trubice t.j. rýchlostný profil prúdenia  v(r).

Predstavme si v prúdiacej kvapaline objem tvaru valca s polomerom r a dĺžkou l (obr. 3.24)

                                              

                                                                                                       Obr. 3.24

Pri stacionárnom prúdení sú rýchlosti vo všetkých bodoch konštantné (zrýchlenie a = 0), a teda aj súčet síl pôsobiacich na ľubovoľný objem kvapaliny sa musí rovnať nule. Zvoľme smer prúdenia v osi x. Pre vodorovnú trubicu je objemová tiažová sila v smere prúdenia nulová. Musí preto platiť:  F_p + F_v  =  0 , kde tlaková sila  F_p = Dp S = Dp p r²   a trecia sila od viskozity kvapaliny

  

 

kde t je tangenciálne napätie úmerné dynamickej viskozite kvapaliny a gradientu rýchlosti,  S* je povrch plášťa valca polomeru r a dĺžky l. Dosadením do rovnice pre rovnováhu síl

 F_p i+ F_v (–i) = 0 dostaneme:

 

                                                                        (3.27)

 

Separáciou premenných a integráciou tejto rovnice:

 

                                                                                       (3.28)

 

dostaneme závislosť rýchlosti od premennej r :

 

                                                                               (3.29)

Elementárny tok plôškou  dS = 2p r dr  je  Q = v dS .

 Pre celkový prietok trubicou dostaneme integráciou cez celý prierez trubice Hagenov–Poisseuillov zákon:

                                                       (3.30)                                                            

Vidíme, že prietok je priamo úmerný rozdielu tlakov, nepriamo viskozite a dĺžke potrubia, ale veľmi významne (R⁴ !) závisí od polomeru potrubia.

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Príklad 3.15  Vodorovným potrubím prúdi reálna kvapalina s dynamickou viskozitou  h = 0,8 Pa.s. Meraním sa zistilo, že trubicou s priemerom  d = 5 mm a dĺžkou l = 1 m pretieklo laminárnym prúdením celkove množstvo V = 0,06 ℓ za 1 minútu. Vypočítajte rozdiel tlakov na koncoch trubice a rýchlosť kvapaliny v osi trubice (obr. 3.24).

 

Riešenie:  Pre celkový prietok trubicou dostaneme z Hagenovho –Poisseuillovho zákona (3.30):

 

 

pričom

                                                      

 

Rozdiel tlakov na koncoch trubice je:

 

 

            

Rýchlosť kvapaliny podľa rovnice (3.29), v osi trubice  (pre r = 0), bude:

 

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

 

            Hagenov – Poiseuillov zákon môžeme vyjadriť aj v inom tvare a to pomocou strednej rýchlosti prúdenia. Potom prietok

 

Po dosadení do (3.30) a úprave dostávame:

 

Ak vynásobíme túto rovnicu prierezom potrubia a jeho dĺžkou získame silu, ktorá spôsobuje  v potrubí pohyb kvapaliny danou strednou rýchlosťou:

 

                                                                                   (3.31)

 

Nakoľko ide o  rovnovážny stav, rovnako veľký je aj trecí odpor potrubia.

            Iný dôležitý vzťah odvodil Stokes pre odpor kvapaliny proti pohybu guličky s polomerom R. Táto sila odporu je tiež priamo úmerná rýchlosti,  polomeru guličky a viskozite kvapaliny. Tento vzťah voláme Stokesov zákon:

 

F_S = 6phR v                                                                                                  (3.32)

 

Experimenty ukazujú, že platí  iba za podmienky: 

 

 

 

Poznámka 1. Pre turbulentné prúdenie platí pre odpor prostredia Newtonov vzťah:

 

 ,

kde C je tvarový faktor, S je priečny prierez telesa.